Berekeningen voor het huisvoordeel van Baccarat (punto banco)

[DeValsspeler]

Dankzij de vragen van @AAequitas in dit topic, leek het me leuk om voor baccarat te laten zien hoe het huisvoordeel tot stand komt, net zoals ik dat voor blackjack heb gedaan in het topic Berekeningen voor het huisvoordeel van blackjack.

Dit kan onder andere door simpelweg met een computerprogramma alle mogelijkheden langs te gaan, het aantal keer dat banker, player en tie winnen te tellen en dat om te zetten in percentages. Dat geeft snel en op een makkelijke manier de uitkomst waar we naar op zoek zijn. Daarnaast biedt het vele mogelijkheden om te kijken wat het met de kansen doet als je de regels verandert, zoals @AAequitas ver

zocht.

Ik ga eerst echter de kansen via excel 'met de hand' berekenen. Dit bleek een stuk lastiger dan verwacht, maar het is een goede manier om te laten zien hoe kansen tot stand komen. Daarnaast wordt hiermee al gauw duidelijk dat het helemaal niet zo eenvoudig is om kansen in te schatten. Je ziet al snel mogelijkheden over het hoofd waardoor je verkeerd zit.

Net zoals voor de berekeningen bij blackjack zal ik uitgaan van een oneindige slof kaarten, zodat de kans op 1-9 elke keer 1/13 is en de kans op 0 (T,J,Q,K) gelijk is aan 4/13. Dit maakt het rekenwerk aanzienlijk eenvoudiger om te laten zien. De methode met het computerprogramma zal het ook weer makkelijker maken om bijvoorbeeld van 6 spellen kaarten uit te gaan en dus rekening te houden met kaarten die al getrokken zijn, maar zoals gezegd doe ik dat later. Eerst de methode 'met de hand':

Om te beginnen rekenen we de kans op elke combinatie van twee kaarten uit. Dit is redelijk eenvoudig, zo is de kans dat de eerste kaart een 4 is 1/13 en de kans dat de tweede kaart een 5 is ook 1/13. Vermenigvuldig je beide kansen dan heb je dus de kans op een 4 als eerste kaart en een 5 als tweede kaart. Doen we dit voor alle mogelijke combinaties, dan krijgen we de volgende tabel:

Tabel 1

Horizontaal zie je de eerste kaart, verticaal de tweede kaart en in de tabel de kans op de combinatie van die twee kaarten.

We maken nu een zelfde tabel, waarbij niet de kansen maar de totalen van de twee kaarten samen staan (uiteraard berekend zoals bij baccarat: tientallen worden weggelaten):

 Tabel 2

Je ziet dat alle paarse vakjes een totaal van 8 geven na twee kaarten. Tel ik de overeenkomstige kansen in de eerste tabel bij elkaar op, dan heb je dus de kans dat je na twee kaarten een totaal van 8 hebt.

Tel je de kansen in de blauwe vakjes bij elkaar op, dan heb je de kans dat je na twee kaarten een totaal van 2 hebt. Doe je dit voor elk totaal, dan krijg je de volgende kansen:

Tabel 3:

Zoals verwacht zijn alle kansen gelijk, behalve de kans op 0 na twee kaarten, omdat een totaal van 0 met twee kaarten van 0 gemaakt kan worden en de kans op een kaart met waarde 0 nu eenmaal groter is (4/13 ipv 1/13). Bovenstaande kansen tellen ook netjes op tot 1 zoals het hoort.

Deze kansen gelden uiteraard voor zowel de player als de banker.

Om nu bijvoorbeeld de kans te berekenen dat na twee kaarten player een totaal van 2 heeft (blauw) en banker een totaal van 8 (paars), vermenigvuldigen we dus bijbehorende kansen met elkaar: 0.094674556 * 0.094674556 = 0.008963

Voor elke combinatie van totalen na twee kaarten kunnen we dit doen, en dan krijgen we de volgende tabel.

Tabel 4:

Horizontaal het totaal van player na 2 kaarten, verticaal het totaal van banker na 2 kaarten en in de tabel de combinaties van die twee.

In de gevallen dat na twee kaarten player of banker een totaal van 8 of 9 heeft, wordt er geen kaart meer getrokken en zijn we klaar. Net zo voor het geval dat zowel player als banker een totaal van 6 of 7 heeft. In die gevallen kunnen we dus al winnaars bepalen. Bij de groen gekleurde kansen wint banker, bij rood player en bij geel is het een tie.

Als we straks alle mogelijkheden hebben gehad, rest ons niets anders dan alle groen gekleurde kansen bij elkaar op te tellen voor de totale kans dat banker wint, de rood gekleurde kansen bij elkaar op te tellen voor de kans dat player wint en de geel gekleurde kansen dat het een tie wordt. Hebben we het goed gedaan, dan zullen die drie uitkomsten opgeteld uiteraard weer gelijk moeten zijn aan 1.

In de volgende post gaan we hier op verder.

 

 

[DeValsspeler]

We gaan nu het geval bekijken waar player een totaal van 6 of 7 heeft en de banker een derde kaart krijgt (en dus een totaal van 0-5 heeft na twee kaarten). Tellen we de kansen van deze situaties uit tabel 4 van de vorige post bij elkaar op (de witte waarden in kolom voor spelertotaal 6 en 7), komen we op 0,117643. Dit getal kunnen we straks weer als controle gebruiken.

Voor de mogelijkheden van de banker kunnen we de volgende tabel maken.

Tabel 5:

Horizontaal hebben we het totaal van de banker na twee kaarten. Verticaal de waarde van de 3^e kaart. In de tabel zelf staat dan het nieuwe totaal van de banker na 3 kaarten. De mogelijkheden waar banker met een totaal van 0 eindigt zijn blauw gekleurd.

Willen we nu bijvoorbeeld de kans berekenen dat banker na twee kaarten een totaal van 1 heeft en als derde kaart een 3 krijgt (paarse vakje) dan vermenigvuldigen we de kans op een totaal van 1 na twee kaarten (0,094674556, zie tabel 3) zoals in de vorige post berekend met de kans dat de derde kaart een 3 is (1/13).

We doen dit wederom voor elke mogelijkheid in bovenstaande tabel en dan krijgen we de volgende tabel

Tabel 6:

Tellen we hier de blauwe kansen bij elkaar op, dan hebben we dus de totale kans dat er na het nemen van een derde kaart een totaal van 0 behaald is, als we na twee kaarten een totaal van 0-5 hadden. Dit doen we ook voor de andere totalen en dan komen we op de volgende tabel.

Tabel 7:

De kans dat player een totaal heeft van 6 na twee kaarten was 0,094674556 zoals we in de vorige post zagen (tabel 3). Vermenigvuldigen we dit met de kansen in bovenstaande tabel, dan krijgen we dus de kansen voor banker na drie kaarten als player met 6 eindigt na 2 kaarten. Doen we ditzelfde voor een totaal van 7 voor player na 2 kaarten, dan kunnen we dus de volgende tabel maken.

Tabel 8:

Wederom geldt voor de groen gekleurde vakjes dat banker wint, bij rood wint player en geel geeft de ties aan. Het totaal van deze kansen is gelijk aan 0,117643, exact gelijk aan het totaal aan het begin van deze post, dus we zijn nog goed bezig.

In de volgende post wordt het echt ingewikkeld, dan bekijken we alle mogelijkheden dat player na 2 kaarten een totaal van 0-5 heeft en dus een kaart neemt en banker een extra kaart neemt afhankelijk van de derde kaart van player.

[DeValsspeler]

In de vorige post kwamen we op de volgende twee tabellen:

Tabel 5

Tabel 6:

De eerste tabel laat de totalen na drie kaarten zien gegeven het totaal na 2 kaarten en de derde kaart. De tweede tabel geeft de kansen in deze situaties.

Deze twee tabellen kunnen we nu combineren tot een tabel die de kansen weergeeft naar aanleiding van het totaal na 3 kaarten en de waarde van de derde kaart. Willen we bijvoorbeeld de kans weten dat een totaal na 3 kaarten gelijk is aan 5 terwijl de derde kaart een 2 was dan kijken we in de eerste tabel in de rij van 2 als derde kaart en zoeken daar het totaal 5 op (blauwe vakje). In de kansen tabel kijken we op dezelfde plek voor de kans hierop.

Doen we dit voor alle mogelijkheden, dan krijgen we de volgende tabel.

Tabel 9:

Uiteraard zijn hier een aantal kansen gelijk aan 0. Je kunt ten slotte niet op een totaal van 2 na drie kaarten komen waarbij de derde kaart een 3 is. Dan zou je na 2 kaarten namelijk op 9 zitten en in dat geval wordt er geen derde kaart genomen. Verder tellen de kansen per kolom op tot dezelfde waarden als de waarden in de tabel met de kansen na 3 kaarten uit de vorige post (tabel 7).

De tabel die aangeeft of banker een derde kaart neemt (d) of niet (s), ziet er als volgt uit.

Tabel 10:

We gaan deze bekijken per rij en beginnen bij het geval banker een totaal van 7 heeft. Hij neemt dan nooit een kaart en we hoeven dus nog geen onderscheid te maken tussen de verschillende draw kaarten van de speler. Om in dit geval de kans te berekenen dat hij tegen een speler totaal van bijvoorbeeld 8 komt te zitten, vermenigvuldigen we de kans dat banker na twee kaarten op 7 komt (0,094674556 zie hiervoor tabel 3) met de kans dat de speler na 3 kaarten op een totaal van 8 zit (0,047792444 zie tabel 7).

Doen we dit voor elk totaal van de speler, dan krijgen we de volgende tabel.

Tabel 11:

Deze tabel kunnen we weer inkleuren met groen als banker wint, rood als player wint en geel in geval van een tie.

Vervolgens bekijken we de situatie dat banker 0-2 heeft, dan neemt hij juist altijd een kaart. De kans dat hij na 2 kaarten op 0 staat (0,147928994 volgens tabel 3) en na drie kaarten bijvoorbeeld op 8, is gelijk aan 0,147928994*1/13. De kans dat hij als derde kaart een 8 krijgt is tenslotte 1/13. Doen we dit voor alle totalen waar banker 0 heeft na 2 kaarten, dan krijgen we

Tabel 12:

De kans dat banker na een totaal van 0 met twee kaarten een totaal van 8 na 3 kaarten heeft (0,011379153 tabel 12) en player een totaal van 6 na 3 kaarten (0,047792444 zie tabel 7) is dan 0,011379153*0,047792444.

Doen we dit voor alle mogelijke combinaties dan krijgen we de volgende tabel die we in zijn geheel kunnen inkleuren.

Tabel 13:

De som van al deze kansen is samen gelijk aan de som van rij 1 kolom 0-5 van tabel 4, zoals het ook zou moeten zijn, dus we zijn nog goed bezig.

Exact hetzelfde doen we voor banker totalen 1 en 2 na twee kaarten, want ook daar neemt de bank altijd een kaart als player een kaart nam. We krijgen dan de volgende twee tabellen.

Tabel 14:

Tabel 15:

Voor banker totaal van 3 wordt het ingewikkelder, daar past hij als de derde kaart van de speler een 8 is in alle andere gevallen neemt hij een kaart. Laten we eerst het geval bekijken dat derde kaart een 8 is en de banker dus past.

Voor kansen van de speler, moeten we dan kijken in tabel 9 op de rij waar de derde kaart een 8 is. De kans dat de speler eindigt met een totaal van 0, terwijl de derde kaart een 8 is, is dus 0,007283. Vermenigvuldigen we deze kans met 0,047792444, de kans op een totaal van 3 na twee kaarten volgens tabel 3, dan krijgen we de kans dat de banker na twee kaarten een totaal van 3 heeft en de speler na 3 kaarten een totaal van 0 heeft, waarbij de derde kaart een 8 was. Doen we dit voor elk mogelijk totaal van de speler na 3 kaarten waarbij de derde kaart een 8 is, dan krijgen we de volgende tabel.

Tabel 16:

In de gevallen dat de derde kaart van de speler geen 8 is, en banker dus nog een kaart neemt, gebruiken we weer de kansen uit tabel 7 voor de totalen van banker. Voor de kansen van de totalen van de speler gebruiken we de som van de kolommen uit tabel 9, behalve dat we de kansen uit de rij voor 8 als derde kaart niet meenemen. De kansen voor banker en speler vermenigvuldigen we vervolgens weer met elkaar om tot de uiteindelijke kansen te komen voor alle totalen van banker en player waarbij banker een totaal van 3 heeft na twee kaarten en de derde kaart van player geen 8 is.

Tabel 17:

De zelfde strategie kunnen we volgen voor het geval banker een totaal van 4 heeft na twee kaarten, met inachtneming dat banker dan past bij 0, 1, 8 en 9 als derde kaart voor de speler en kaart neemt in de andere gevallen.

Tabel 18:

Tabel 19:

In het geval banker 5 heeft na twee kaarten, wordt er gepast in het geval de derde kaart van de speler 0, 1, 2, 3, 8 of 9 is. Dit levert de volgende tabel op.

Tabel 20:

Is de derde kaart van de speler 4-7, dan wordt een kaart genomen en krijgen we de volgende tabel.

Tabel 21:

Rest ons nog het geval banker een totaal van 6 heeft na 2 kaarten. Er wordt gepast als de derde kaart van de speler een 0-5, 8 of 9 is. Dit geeft ons de volgende tabel.

Tabel 22:

De bank neemt een derde kaart als de derde kaart van de speler een 6 of 7 is en dat geeft ons de volgende tabel:

Tabel 23:

Rest ons niets anders dan alle groene kansen van alle tabellen bij elkaar op te tellen voor de kans dat banker wint, alle rode kansen bij elkaar op te tellen voor de kans dat player wint en alle gele kansen bij elkaar op te tellen voor de kans dat het een tie is. We komen dan op de volgende waarden:

Deze kansen tellen keurig netjes op tot 1 en komen overeen met de kansen voor banker, player en tie zoals je die elders op het internet kunt vinden. Willen we uit deze kansen nog het huisvoordeel berekenen, dan vermenigvuldigen we uitbetaling met de kans op winst en verlies met de kans op verlies:

Voor player krijgen we dan 0.446147*1 + 0.458428*-1 = -0.012281 voor een huisvoordeel van 1.23%

Voor banker (met 5% commissie) krijgen we 0.458428*0.95 + 0.446147*-1 = -0.0106404 voor een huisvoordeel van 1.06%

Voor tie krijgen we 0.095426*8 + (1-0.095426)*-1 = -0.141166 voor een huisvoordeel van maar liefst 14.11%

Deze hele methode is natuurlijk wel enorm ingewikkeld. Daardoor geeft het echter wel een beeld van wat er soms nodig is om kansen te berekenen en wordt het duidelijk dat we als mensen niet echt zijn uitgerust om kansen zomaar in te kunnen schatten.

In de volgende post laat ik de makkelijke manier zien om de kansen voor player, banker en tie te verkrijgen. Deze manier is ook geschikt om eenvoudig het effect van eventuele regelwijzigingen te bepalen zoals @AAequitas graag zou zien.

 

[Reno]

Dit gaan we een andere keer maar lezen... indrukwekkend!

[LuukFOD]

52 minuten geleden zei Reno:

Dit gaan we een andere keer maar lezen... indrukwekkend!

Hoe kun je dat nu zeggen? Je hebt het niet gelezen?

[dobbelsteen]

Alle lof voor deze berekeningen van het huisvoordelen van het Punt Banco spel. Als ik het goed begrijp dan geldt het wel voor een zeer groot aantal handen of een oneindig aantal handen. Ik vergelijk het maar met het huisvoordeel van 1,35% voor de enkelvoudige kansen en 2,7% voor alle ander kansen. Bij een zeer groot aantal randomspelers Is het huisvoordeel voor PB een percentage dat moet liggen tussen 14,%  en 1,06% .Het aantal Punto spelers zal  het meest gaan wegen. Ik verwacht dat daarom het huisvoordeel van PB zal uitkomen dicht bij de 1,23%. 
De speler van kleine sessies heeft hier niet veel aan. Ook PB kun je met een strategie, systeem en inzetstrategie spelen. De uitkomsten van Punto, Banco en Egalite zijn ook weer randomreeksen met specifieke eigenschappen.

[Reno]

1 uur geleden zei LuukFOD:

Hoe kun je dat nu zeggen? Je hebt het niet gelezen?

Ik vind het er indrukwekkend uitzien.....over de inhoud geen idee

Ga jij maar ff luiers verschonen

[DeValsspeler]

21 uur geleden zei dobbelsteen:

Alle lof voor deze berekeningen van het huisvoordelen van het Punt Banco spel. Als ik het goed begrijp dan geldt het wel voor een zeer groot aantal handen of een oneindig aantal handen. Ik vergelijk het maar met het huisvoordeel van 1,35% voor de enkelvoudige kansen en 2,7% voor alle ander kansen. Bij een zeer groot aantal randomspelers Is het huisvoordeel voor PB een percentage dat moet liggen tussen 14,%  en 1,06% .Het aantal Punto spelers zal  het meest gaan wegen. Ik verwacht dat daarom het huisvoordeel van PB zal uitkomen dicht bij de 1,23%. 
De speler van kleine sessies heeft hier niet veel aan. Ook PB kun je met een strategie, systeem en inzetstrategie spelen. De uitkomsten van Punto, Banco en Egalite zijn ook weer randomreeksen met specifieke eigenschappen.

Dat is het hele idee van het huisvoordeel, het is het gemiddelde van alle mogelijke uitkomsten, dat zou je inmiddels toch moeten weten. En de speler van kleine sessies kan hier uit halen hoe vaak er over een kleine sessie gemiddeld punto, banco en tie valt. Elke andere eigenschap die je aan een kleine sessie zou willen toedichten is onjuist, omdat het dan per definitie geen randomreeks meer is.

 

[DeValsspeler]

Speciaal voor @Reno hier de eenvoudige versie.

Aangezien het huisvoordeel niets anders is dan het gemiddelde van alle uitkomsten, kunnen we ook elke mogelijkheid langs gaan en kijken wat de uitkomst is. Aangezien er zes kaarten worden gedeeld (hoewel de laatste twee niet altijd echt gedeeld worden, moeten we die mogelijkheden wel meenemen) en er voor elke kaart 13 mogelijkheden zijn, zijn er in totaal 13^6 = 4826809 mogelijkheden.

Met een computerprogramma kun je deze mogelijkheden relatief eenvoudig bekijken, de code hiervan staat onderaan deze post. Het doet niets anders dan voor elke mogelijkheid van alle zes kaarten de winnaar bepalen volgens de regels en weergeven hoe vaak banker, player en tie in totaal hebben gewonnen. Hier komt het volgende uit:

Banker wins: 2212744

Player wins: 2153464

Tie wins: 460601

En omgerekend naar een percentage van het totaal aantal mogelijkheden:

Banker percentage: 0.458428

Player percentage: 0.446147

Tie percentage: 0.0954256

Uiteraard zijn dit dezelfde percentages als die ik met de handmatige berekening vond.

Het mooie van dit programma is dat je regels eenvoudig kunt aanpassen om te zien wat voor invloed dit heeft op het huisvoordeel. Dus als @AAequitas aangeeft welke regels hij aangepast zou willen zien, dan kan ik dat eenvoudig aanpassen.

Wil je zelf met het programma spelen, dan kan dat als volgt: installeer Code::Blocks en open een nieuw project via File-New-Project. Kies in het window dat opent voor Console application, kies c++ in het volgende scherm, typ een Project title en kies de map waar je het project wil opslaan en kies Next en dan Finish. Links in het menu klik je op het plusje naast Sources en vervolgens dubbelklik je op main.cpp. Onderstaande code kun je vervolgens copy pasten in plaats van de code die je ziet verschijnen. Klik vervolgens op de combinatie geel radarwieltje/groen pijltje en het programma wordt gedraaid en zal uitkomst in een nieuw scherm geven.

#include <iostream>

using namespace std;

int getValue(int card)
//functie om de waarde van de kaart te bepalen, als de kaart 1-10 is, geven we de waarde van de kaart terug
//als de kaart 11, 12 of 13 (J, Q, K) is, geven we 10 terug
{
    if (card >= 10)
        return 0;
    else
        return card;
}

int main()
{
    int bankerFirstCard;
    int bankerSecondCard;
    int bankerThirdCard;
    int playerFirstCard;
    int playerSecondCard;
    int playerThirdCard;
    int bankerTotal2C;
    int bankerTotal3C;
    int playerTotal2C;
    int playerTotal3C;
    int bankerWins = 0;
    int playerWins = 0;
    int tieWins = 0;

    

    for (int bFC = 1;bFC <= 13;bFC++)
    {
        bankerFirstCard = getValue(bFC);
        for (int bSC = 1;bSC <= 13;bSC++)
        {
            bankerSecondCard = getValue(bSC);
            for (int bTC = 1;bTC <= 13;bTC++)
            {
                bankerThirdCard = getValue(bTC);
                for (int pFC = 1;pFC <= 13;pFC++)
                {
                    playerFirstCard = getValue(pFC);
                    for (int pSC = 1;pSC <= 13;pSC++)
                    {
                        playerSecondCard = getValue(pSC);
                        for (int pTC = 1;pTC <= 13;pTC++)
                        {
                            playerThirdCard = getValue(pTC);
                            //tientallen van de totalen van banker en player afhalen
                            bankerTotal2C = (bankerFirstCard + bankerSecondCard) % 10;
                            bankerTotal3C = (bankerFirstCard + bankerSecondCard + bankerThirdCard) % 10;
                            playerTotal2C = (playerFirstCard + playerSecondCard) % 10;
                            playerTotal3C = (playerFirstCard + playerSecondCard + playerThirdCard) % 10;

                            if ((bankerTotal2C >= 8) || (playerTotal2C >= 8))               //als banker of player 8 of 9 heeft na twee kaarten
                            {
                                if (bankerTotal2C > playerTotal2C)                          //banker wint
                                    bankerWins++;
                                else if (bankerTotal2C < playerTotal2C)                     //player wint
                                    playerWins++;
                                else
                                    tieWins++;                                              //tie wint
                            }
                            else if (((bankerTotal2C == 6) || (bankerTotal2C == 7)) && ((playerTotal2C == 6) || (playerTotal2C == 7)))      //als banker en player 6 of 7 heeft na twee kaarten
                            {
                                if (bankerTotal2C > playerTotal2C)                          //banker wint
                                    bankerWins++;
                                else if (bankerTotal2C < playerTotal2C)                     //player wint
                                    playerWins++;
                                else
                                    tieWins++;                                              //tie wint
                            }
                            else if ((playerTotal2C == 6) || (playerTotal2C == 7))                                     //als player 6 of 7 heeft (en banker kleiner dan 5)
                            {                                                                                        //vergelijk playerTotaal 2 kaarten met bankerTotaal 3 kaarten
                                if (bankerTotal3C > playerTotal2C)                          //banker wint
                                    bankerWins++;
                                else if (bankerTotal3C < playerTotal2C)                     //player wint
                                    playerWins++;
                                else
                                    tieWins++;                                              //tie wint
                            }
                            else                                                                                        //player heeft minder dan 6 en neemt kaart, banker heeft minder dan 8
                            {                                                                                           //en neemt kaart afhankelijk van totaal met 2 kaarten en 3e kaart speler
                                if ((bankerTotal2C < 3) || ((bankerTotal2C == 3) && (playerThirdCard != 8)) || ((bankerTotal2C == 4) && (playerThirdCard >= 2) && (playerThirdCard <= 7)) || ((bankerTotal2C == 5) && (playerThirdCard >= 4) && (playerThirdCard <= 7)) || ((bankerTotal2C == 6) && (playerThirdCard >= 6) && (playerThirdCard <= 7)))
                                {
                                    if (bankerTotal3C > playerTotal3C)                          //banker wint
                                        bankerWins++;
                                    else if (bankerTotal3C < playerTotal3C)                     //player wint
                                        playerWins++;
                                    else
                                        tieWins++;                                              //tie wint
                                }
                                else
                                {
                                    if (bankerTotal2C > playerTotal3C)                          //banker wint
                                        bankerWins++;
                                    else if (bankerTotal2C < playerTotal3C)                     //player wint
                                        playerWins++;
                                    else
                                        tieWins++;                                              //tie wint
                                }
                            }

                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << "Banker wins: " << bankerWins << endl;
    cout << "Player wins: " << playerWins << endl;
    cout << "Tie wins: " << tieWins << endl;
    int total = bankerWins + playerWins + tieWins;
    cout << "Total: " << total << endl;
    cout << "Banker percentage: " << (float)bankerWins/(float)total << endl;
    cout << "Player percentage: " << (float)playerWins/(float)total << endl;
    cout << "Tie percentage: " << (float)tieWins/(float)total << endl;
}

 

[dobbelsteen]

1 uur geleden zei DeValsspeler:

omdat het dan per definitie geen randomreeks meer is.

Je schrijft hier dat de uitkomstreeks van kleine series of samples niet random zijn. Mijn conclusie is dan dat je kleine sessies niet aan elkaar kunt rijgen. De som van kleine sessies vormen geen random reeks. Dit betekent ook dat het resultaat van een  sessies  onafhankelijk is van resultaten uit het verleden.
Ik ben nog opzoek naar een gratis spel op internet om PB in de praktijk te testen. Voor de computer heb ik een simulatie program geschreven in Excel. Speelmethoden kun je voor spelerssessies dan uitproberen. 

[DeValsspeler]

Op 3-2-2021 om 11:24 zei dobbelsteen:

Je schrijft hier dat de uitkomstreeks van kleine series of samples niet random zijn. Mijn conclusie is dan dat je kleine sessies niet aan elkaar kunt rijgen. De som van kleine sessies vormen geen random reeks. Dit betekent ook dat het resultaat van een  sessies  onafhankelijk is van resultaten uit het verleden.
Ik ben nog opzoek naar een gratis spel op internet om PB in de praktijk te testen. Voor de computer heb ik een simulatie program geschreven in Excel. Speelmethoden kun je voor spelerssessies dan uitproberen. 

Nee, ik schrijf dat eigenschappen die jij aan kleine random reeksen wilt toedichten per definitie niet kunnen kloppen als de reeksen daadwerkelijk random gegenereerd zijn. Kijk je alleen naar reeksen die aan de eigenschappen voldoen die jij kiest, dan heb je al geen random reeksen meer en natuurlijk vormen ze dan geen random reeks als je ze aan elkaar plakt.

Heb je echter korte sessies die allemaal daadwerkelijk random zijn gegenereerd, dan zal de som van al die sessies ook random zijn. Met andere woorden: het gemiddeld aantal keer dat punto, banco en tie voorkomt in al die kleine sessies is natuurlijk gelijk aan het gemiddelde van de totale sessie. Andere eigenschappen dan hoe vaak gemiddeld iets voorkomt kun je ook niet toekennen aan random reeksen.