Wanneer zit je 'in de long run'?

[DeValsspeler]

In de meeste gevallen kun je gewoon uitrekenen wat de verwachtingswaarde van een kansspel is en hoeveel je dus gemiddeld verwacht te winnen. Als mensen resultaten ondervinden die hier danig van afwijken, dan wordt er al snel gedacht dat er iets bijzonders is gevonden. Waar ik op blijf hameren is dat je sample size wel groot genoeg moet zijn, omdat afwijkingen bij een te kleine sample size simpelweg een resultaat kunnen zijn van variantie en niets bijzonders hoeven te betekenen. De vraag is dan, hoe groot moet die sample size zijn? Wanneer bevind je je in de long run?

De eerste opmerking die ik hierover wil maken is dat er niet een magisch punt is waarop je je ‘opeens’ in de long run bevindt. Echter, hoe langer je speelt, hoe dichter je resultaat uitgedrukt in een percentage van je inzet bij het huisvoordeel komt te liggen. Grafisch weergegeven zal het er ongeveer zo uitzien zoals hieronder, waarbij je de rode stippellijn als de verwachting kunt zien. Resultaten slingeren erom heen of beginnen ver van de lijn, maar naarmate de tijd vordert en je meer speelt, komen de resultaten steeds dichter bij de verwachting te liggen. Er is geen punt waarna de resultaten opeens altijd exact gelijk zijn aan de verwachting, ze zullen eromheen blijven slingeren, maar met een steeds kleiner verschil.

Voor mij betekent ‘de long run’ dan ook de situatie waarbij de kans dat je meer dan een bepaalde hoeveelheid afwijkt van de verwachting heel erg klein is. Dat klinkt nog steeds heel erg wiskundig, dus ik zou het als volgt willen herformuleren:

Je bevindt je in de long run als een enigszins extreem resultaat geen noemenswaardige invloed meer heeft op je verlies- of winstpercentage.

Hier staan natuurlijk nog twee vage termen in: ‘enigszins’ en ‘geen noemenswaardige invloed’. Het is aan een ieder om die voor zichzelf te bepalen, maar ik zal een paar voorbeelden geven.

Stel ik speel roulette en ik speel altijd €1 op rood. Na 100.000 spins sta ik op exact 2,7% verlies, €2700. Met een inzet op rood kunnen we tien keer winnen op rij in mijn ogen best enigszins extreem noemen, nietwaar? Het komt niet vaak voor, maar tegelijkertijd hebben we het allemaal wel eens zien gebeuren. Dus stel dat we in de volgende 10 spins tien keer winnen. We hebben dan €100.010 ingezet in totaal en hebben nog maar €2690 verlies. Dit geeft een verliespercentage van 2,69%. Ik kan me er wel in vinden om deze verandering in verliespercentage niet noemenswaardig te noemen en dat 100.000 spins op rood wel gezien kan worden als de long run.

Wat als we hetzelfde bekijken bij 1000 spins? We staan op 2,7% verlies (€27), en winnen vervolgens 10 keer op rij. Dan hebben we €1010 ingezet en staan nog maar op €17 verlies. Ons verliespercentage is dan 1,68%. Ik denk dat jullie het met mij eens zijn dat dit een significante verandering is in verliespercentage. Met andere woorden, 1000 spins op rood is niet voldoende om de long run te bereiken en resultaten uit een dergelijke sample zullen je dus niet snel iets zinnigs kunnen vertellen over je spel.

Doen we hetzelfde voor een inzet op een enkel nummer en zouden we na 10.000 spins op exact 2,7% verlies staan, dan zou een enigszins uitzonderlijk resultaat van 3 wins op rij ons verlies van €270 op €10.000 inzet wijzigen in een verlies van €165 op €10.003 inzet voor een verliespercentage van 1,65%. Je hebt dus niet genoeg aan 10.000 spins met inzetten op enkele nummers om de long run te bereiken.

Kijken we naar mijn experiment op Spassino, dan stond ik daar na 5 februari op €1138.55 speelverlies op een totale inzet van €9358.10 voor een verliespercentage van 12.17%. Slechts 720 spins later stond ik echter op €720.30 speelverlies op een inzet van €9718.10 voor een verliespercentage van 7.41%. Een flinke wijziging in verliespercentage over een korte periode. Met andere woorden, we zitten hier nog lang niet ‘in de long run.’

Kijken we naar het Martingale systeem waar de gemiddelde inzet van een reeks ca €11,31 is als je met €1 begint. Dan hebben we na 10.000 reeksen €113100 ingezet en als we op 2,7% verlies staan dan hebben we €3053,70 verlies. Nemen we een 10x op rij verliesreeks als extreem resultaat, dan verliezen we daarmee €1023 met net zoveel inzet. We staan dan dus op €2030,70 verlies over €114123 inzet, voor een verliespercentage van 1,78%. Duidelijk ook een significant verschil waarbij duidelijk wordt dat 10.000 keer Martingale (of SSB) spelen nog bij lange na niet genoeg is om te kunnen zeggen dat je in de long run zit.

Ondanks dat een grotere sample betrouwbaardere resultaten zal leveren dan kleine samples, kun je ook met kleinere samples uitvinden of je iets bijzonders hebt gevonden. Je zult die sample dan wel op de juiste manier moeten analyseren. Gelukkig is daar een eenvoudige manier voor die iedereen die serieus onderzoek doet zou moeten kennen.

In de wiskunde kennen we de binomiaalverdeling en deze is perfect van toepassing als we de roulette willen onderzoeken, waarbij er slechts twee mogelijke uitkomsten zijn (onderstaande is dus als la partage niet geldt). Twee formules zijn hierbij van belang:

EV = np

SD = sqrt(np(1-p))

EV is de verwachtingswaarde, deze wordt berekend door het aantal keer dat je een experiment doet (n) te vermenigvuldigen op de kans op een positieve uitkomst (p). Simpel gezegd is het niets anders dan hoe vaak je een uitkomst gemiddeld verwacht.

SD staat voor de standaard deviatie en wordt berekend door het aantal keer dat je een experiment doet (n) te vermenigvuldigen met de kans op succes (p) en met de kans op mislukking (1-p). Vervolgens neem je hier de wortel van. Deze standaard deviatie is een maat voor hoe ver je kunt verwachten dat resultaten afwijken van het gemiddelde.

Bij een groot aantal pogingen kun je deze verdeling benaderen door de normale verdeling, waarvan jullie de grafiek allemaal wel eens hebben gezien:

Deze verdeling heeft de volgende eigenschappen:

Je hebt 68,2% kans dat je resultaten binnen één standaardafwijking van het gemiddelde vallen (het donkerblauwe gebied)

Je hebt een 95,4% kans dat je resultaten binnen twee standaardafwijkingen van het gemiddelde liggen (donkerblauw + lichter blauw)

Je hebt een 99,7% kans dat je resultaten binnen drie standaardafwijkingen liggen.

Vind je resultaten die meer dan 3 standaardafwijkingen afliggen van het gemiddelde, dan heb je wellicht iets bijzonders gevonden. Valt het binnen 3 standaardafwijkingen, dan valt het gewoon binnen wat je zou kunnen verwachten en is je uitkomst dus niet bijzonder.

Een simpel voorbeeld:

We zetten 100 keer op rood in en na afloop zien we dat we maar liefst 57 keer hebben gewonnen en dus een mooi winstje hebben gemaakt. Maar is dit bijzonder? Dat zien we als we EV en SD berekenen:

EV = 100 * 18/37 = 48.65

We verwachten dus dat rood 48.65 keer valt in 100 spins en we zitten daar flink boven.

SD = sqrt(100 * 18/37 * 19/37) = 5

De standaardafwijking is maar liefst 5 en dus zit onze uitkomst binnen twee standaardafwijkingen van het gemiddelde (48.65 + 2 * 5 = 58.65).

Pas als we vaker dan 63 keer zouden hebben gewonnen of minder vaak dan 34 keer zouden we meer dan drie standaardafwijkingen van het gemiddelde zitten en is er wellicht iets aan de hand en zou het zin hebben om het verder te onderzoeken.

Zo lang je echter resultaten vind die binnen drie standaardafwijkingen liggen, vallen je resultaten binnen de grenzen van wat je logischerwijs zou mogen verwachten en heb je dus niets bijzonders ontdekt.

Laten we met deze kennis kijken naar 10.000 reeksen van het Martingale systeem (en dus ook naar SSB toegepast op Martingale) dan hebben we de volgende waarden voor de variabelen:

n = 10.000, p = (19/37)^10 (10 keer op rij verliezen)

Vullen we dit in de formules voor EV en SD in, dan krijgen we:

EV = 10.000  (19/37)^10 = 12.75

SD = sqrt(10.000  (19/37)^10  (1 - (19/37)^10)) = 3.57

 

In 10.000 reeksen van Martingale verwachten we dus gemiddeld 12.75 keer dat we 10 keer op rij verliezen, met een standaardafwijking van 3.57. Elke uitkomst die we vinden waarbij we tussen 2.04 (12.75 – 3*3.57) en 23.46 (12.75 + 3*3.57) keer 10 op rij verliezen, valt dus prima binnen wat we zouden kunnen verwachten. Verliezen we in 10.000 reeksen 9 keer (ongeveer 1 standaardafwijking van het gemiddelde) of minder dan 10 keer op rij , dan maken we winst. Er is dus een heel interval van uitkomsten (van 2 verliesreeksen tot 9 verliesreeksen) waarbij we winst maken in 10.000 reeksen die perfect te verwachten zijn en dus helemaal geen bijzonder fenomeen zijn. Waarmee nog maar weer eens wordt aangetoond dat de 'prachtige' resultaten van @dobbelsteen prima binnen de verwachting liggen en geenszins bijzonder genoemd kunnen worden.