Roulette: hypothese toetsen

[DeValsspeler]

Nu het topic Automatische Roulette Gemanipuleerd weer nieuw leven in is geblazen is het denk ik goed om uit te leggen hoe je nu precies bepaalt of uitkomsten uitzonderlijk zijn of niet. In dat topic wordt continue gesmeten met zogenaamd uitzonderlijke gebeurtenissen zonder daar daadwerkelijk een goede onderbouwing voor te geven. Het is namelijk niet alleen zo dat wij als mens niet in staat zijn om uit herinnering in te schatten hoe vaak iets is voorgekomen (hetgeen we de aandacht op hebben wordt vaak overschat, ook wel bekend als de confirmation bias), het is ook zo dat zelfs als we exact weten hoe vaak iets voorgekomen, we nog steeds geen idee hebben of dit een uitzonderlijke uitkomst is. Gelukkig is voor beide gevallen een relatief simpele oplossing. Voor het eerste probleem is de oplossing simpelweg noteren hoe vaak iets voorkomt (en daarbij natuurlijk ook meenemen hoe vaak je in totaal kijkt of het wel of niet voorkomt). Doe je dit niet, dan is eigenlijk elke uitspraak die je doet over of iets te vaak of te weinig voorkomt al niet serieus te nemen.

Voor het tweede probleem, bepalen of een uitkomst echt wel zo uitzonderlijk is, kennen we in de wiskunde hypothese toetsen. Hiervoor stellen we een nulhypothese vast, waarbij we over het algemeen uitgaan van de 'meest voor de hand liggende situatie'. Bij roulette zal onze nulhypothese dus altijd zoiets zijn als 'de roulette is eerlijk'. Kijk je naar het aantal keer dat rood valt, zul je als nulhypothese 'de kans op rood is 18/37' nemen. Kijk je naar enkele nummers dan zul je als nulhypothese bijvoorbeeld 'de kans op nummer 14 is 1/37' nemen.

Naast de nulhypothese hebben we dan ook de alternatieve hypothese. De alternatieve hypothese kan het volledig tegenovergestelde zijn (de kans op rood is NIET 18/37), maar kunnen we ook zetten op bijvoorbeeld 'de kans op rood is kleiner dan 18/37' als je al weet dat je in je steekproef minder vaak rood dan verwacht kreeg.

Nu is het zaak om de steekproef te doen en dus alle uitkomsten te noteren. Hoe groter de steekproef hoe beter. Maar ook met kleinere steekproeven kun je op deze manier je hypothese testen.

Stel dat onze nulhypothese inderdaad is 'de kans op rood is 18/37' en we doen vervolgens een steekproef van 100 spins. In theorie zouden we in deze steekproef 100 keer rood kunnen krijgen. Iedereen zal bij deze uitkomst direct concluderen dat onze nulhypothese niet klopt. Maar er is dus een hele kleine kans dat de nulhypothese wel klopt en we toch dit resultaat krijgen. In dat geval verwerpen we onze nulhypothese dus onterecht. Hier komt de term significantie niveau om de hoek kijken. Van tevoren eisen we dat de kans dat we onze nulhypothese ten onrechte verwerpen kleiner is dan een bepaalde waarde. Veelal wordt hiervoor 5% gebruikt. Dit betekent dat we het acceptabel vinden dat de kans 5% is dat we onze nulhypothese ten onrechte verwerpen. Het betekent namelijk automatisch dat er dus 95% kans is dat onze nulhypothese inderdaad niet waar was. Wil je zekerder van je zaak zijn, dan kies je een kleiner significantie niveau.

In het geval van onze nulhypothese 'de kans op rood is 18/37' betekent dit dat wanneer we een uitkomst krijgen waar de kans op die uitkomst of extremer kleiner is dan 5% we onze nulhypothese verwerpen en dus concluderen dat de kans op rood niet 18/37 is.

Een concreet voorbeeld:

We vermoeden dat rood vaker valt als we op zwart inzetten en willen dit testen. Normaal gesproken hoort de kans op rood 18/37 te zijn, dus onze nulhypothese is 'de kans op rood is 18/37'. Omdat we vermoeden dat rood vaker valt, is onze alternatieve hypothese 'de kans op rood is groter dan 18/37' en we houden een significantie niveau van 5% aan.

We testen dit vervolgens door 100 keer op zwart in te zetten en te noteren hoe vaak rood valt. Het blijkt 56 keer te zijn. Meer dan verwacht, maar is het ook daadwerkelijk een resultaat dat we eigenlijk niet zouden moeten krijgen als de kans wel 18/37 is?

De kans op 56 keer of vaker rood in 100 draaien kunnen we berekenen met de Binomial Probability Calculator. We vullen de kans op rood in (0.4864864), het aantal keer dat we de steekproef doen (100) en het aantal keer dat de gewenste uitkomst kwam (56) en de calculator doet de rest. Er komt een kans uit van 0.085, ofwel 8,5%. Dit is hoger dan ons significantieniveau en dus accepteren we onze nulhypothese dat de kans op rood inderdaad 18/37 is en onze zorg ongegrond was.

Enkele opmerkingen achteraf:

• Hoe groter de steekproef hoe betrouwbaarder je onderzoek. Wees dus voorzichtig met conclusies trekken als je maar een kleine sample hebt.
• Als je concludeert dat de roulette kansen niet zijn zoals ze moeten zijn beticht je het casino dus eigenlijk van vals spelen. Dat is een serieuze aantijging. De nulhypothese ten onrechte verwerpen is dus iets wat je niet te snel moet willen. Ik zou er dan ook eerder voor kiezen om het significantie niveau op 1% te stellen.
• Zelfs als je significantie niveau 1% is, betekent dit dat je dus gemiddeld in 1 van de 100 keer dat je een dergelijk onderzoek doet, een casino ten onrechte van vals spel zult betichten. Kom je tot dergelijke resultaten (zeker als je een kleine steekproef hebt) zou ik dus zeker een tweede onderzoek met een grotere sample adviseren. Kom je dan tot dezelfde conclusie, dan is er wellicht echt wat aan de hand.

Mocht je resultaten hebben waarvan je vermoedt dat ze niet overeenkomen met eerlijke kansen en je vindt bovenstaande te ingewikkeld, plaats ze dan hier, dan doe ik de berekeningen voor je. Voorwaarde is dus wel dat je met duidelijke harde cijfers komt: hoe vaak heb je gespind en hoe vaak kwam de betreffende uitkomst waar je aan twijfelt.

[Rudi]

39 minutes ago, DeValsspeler said:

Nu het topic Automatische roulette Gemanipuleerd weer nieuw leven in is geblazen is het denk ik goed om uit te leggen hoe je nu precies bepaalt of uitkomsten uitzonderlijk zijn of niet. In dat topic wordt continue gesmeten met zogenaamd uitzonderlijke gebeurtenissen zonder daar daadwerkelijk een goede onderbouwing voor te geven.

Enkele opmerkingen achteraf:

• Hoe groter de steekproef hoe betrouwbaarder je onderzoek. Wees dus voorzichtig met conclusies trekken als je maar een kleine sample hebt.
• Als je concludeert dat de roulette kansen niet zijn zoals ze moeten zijn beticht je het casino dus eigenlijk van vals spelen. Dat is een serieuze aantijging.

Mocht je resultaten hebben waarvan je vermoedt dat ze niet overeenkomen met eerlijke kansen en je vindt bovenstaande te ingewikkeld, plaats ze dan hier, dan doe ik de berekeningen voor je. Voorwaarde is dus wel dat je met duidelijke harde cijfers komt: hoe vaak heb je gespind en hoe vaak kwam de betreffende uitkomst waar je aan twijfelt.

Nee in het geval van automatische roulette hoeft dit juist allemaal niet van toepassing te zijn.

In de traditionele roulette is de RTP de uitkomst van alle mogelijkheden maal de waarschijnlijkheden (36/37 = 97.2%) en bij de automaat kan het goed zijn dat dit een voorafgesteld percentage is waar de automaat dan naar toe draait.
Het lukt om allerlei redenen nooit om een fatoenlijke steekproef te krijgen: we weten niet of dat het RTP per box of per automaat is bepaald, we spelen alleen sessies als Li de Aflegger en collega's geen interesse in de automaat hebben, en mocht de automaat op springen staan dan maakt het niet uit op welke nummers/sectoren je inzet.

Voor de luchtige toon: ik zat laatst een roulette promo te spelen waarbij ik een bonus kreeg als nummer 7 , 14 of 21 viel.
Ik vertrouwde het niet en ik hedgede al mijn bets door tevens op zwart in te zetten. Geen enkele keer de hoofdprijs, maar wel 12 keer zwart achter elkaar. 

Als bewijs heb ik een screenshot toegevoegd. What are the odds?



   

[DeValsspeler]

3 uur geleden zei Rudi:

Nee in het geval van automatische roulette hoeft dit juist allemaal niet van toepassing te zijn.

In de traditionele roulette is de RTP de uitkomst van alle mogelijkheden maal de waarschijnlijkheden (36/37 = 97.2%) en bij de automaat kan het goed zijn dat dit een voorafgesteld percentage is waar de automaat dan naar toe draait.
Het lukt om allerlei redenen nooit om een fatoenlijke steekproef te krijgen: we weten niet of dat het RTP per box of per automaat is bepaald, we spelen alleen sessies als Li de Aflegger en collega's geen interesse in de automaat hebben, en mocht de automaat op springen staan dan maakt het niet uit op welke nummers/sectoren je inzet.  

En daarom is deze test dus juist mooi. De nulhypothese is namelijk altijd dat we te maken hebben met een traditionele roulette waar de kans puur bepaald wordt door het aantal vakjes ten opzichte het totaal aantal vakjes. Denkt iemand dat het anders is op een automatische roulette dan kan dat met bovenstaande test getoetst worden.

[KingAce]

4 uur geleden zei Rudi:

we spelen alleen sessies als Li de Aflegger en collega's geen interesse in de automaat hebben, en mocht de automaat op springen staan dan maakt het niet uit op welke nummers/sectoren je inzet.

Helaas vrees ik dat het dan een steekproef op een automaat wordt die voor thuis is aangekocht, heb me laten vertellen dat Li de Aflegger en collega’s in shifts werken. En vooral actief optreden als de automaat mogelijk op springen staat.😋

[dobbelsteen]

Ook als je op een correcte wiskundige manier aantoont dat je het vermoeden hebt van een oneerlijkeroulette, kun je als speler en consument geen klacht indienen bij de Ksa. Naar bestuurlijk recht zijn de spelers geen belanghebbende. De klacht wordt als melding geadministreerd  en de Ksa doet er niets mee. De testrapporten mag de Ksa niet openbaar maken.

Bij statistische experimenten is de start waarde erg belangrijk. Een eerlijke roulette hoeft niet getest te worden. Bij een fysieke roulette zijn sensoren en software niet noodzakelijk voor een eerlijke randomgetallen reeks.

[DeValsspeler]

8 minuten geleden zei dobbelsteen:

Ook als je op een correcte wiskundige manier aantoont dat je het vermoeden hebt van een oneerlijkeroulette, kun je als speler en consument geen klacht indienen bij de Ksa. Naar bestuurlijk recht zijn de spelers geen belanghebbende. De klacht wordt als melding geadministreerd  en de Ksa doet er niets mee. De testrapporten mag de Ksa niet openbaar maken.

Dat neemt niet weg dat een correct wiskundig bewijs op zijn minst noodzakelijk is om ook maar iets zinnigs over welke roulette dan ook te zeggen. Zonder dat bewijs blijft de discussie oeverloos. Laten we die oeverloze discussie vooral in het andere topic houden en proberen in dit topic daadwerkelijk tot iets zinnigs te komen door harde cijfers van echte roulettes te plaatsen (hoewel ik bang ben dat er niet veel mensen in de 'automatische roulette is gemanipuleerd'-groep de moeite gaan nemen om te gaan zitten turven en dit dus een kort topic wordt).

8 minuten geleden zei dobbelsteen:

Een eerlijke roulette hoeft niet getest te worden. Bij een fysieke roulette zijn sensoren en software niet noodzakelijk voor een eerlijke randomgetallen reeks.

Als je hem niet test weet je ook niet of hij eerlijk is. En in geval van een automatische roulette zijn sensoren natuurlijk noodzakelijk om uit te lezen waar de bal is gevallen en software noodzakelijk om random wiel- en balsnelheid te bepalen.

 

[dobbelsteen]

De klachten die ik heb ingediend en anderen ook signaleren is ,dat de uitkomst van de roulette  afhankelijk  is van de inzet. De beschreven testen gaan uit sluitend over onregelmatigheden in de getallen reeks. Voldoet een getallen reeks aan de wiskundige voorwaarden dan is het toch mogelijk de uitbetaling te beinvloeden. Dit moet je op een andere manier testen. 

[coinflippers]

automatische roulette is per box en niet per volledige tafel  komt er dus op neer als box 1 totaal niet wil betalen kan je zetten wat je wilt en komt het niet of nauwlijks pak je box 3 of 4 die wel wil betalen an zet je op box 1 niet in dan komt het wel zet je bijde boxen in dan betaald box 1 over en box 3 of 4 te weinig omdat dan een tussenweg word genomen  dit word later dan weer gecorrigeerd als het spel op bijde boxen verranderd word

[DeValsspeler]

14 uur geleden zei dobbelsteen:

De klachten die ik heb ingediend en anderen ook signaleren is ,dat de uitkomst van de roulette  afhankelijk  is van de inzet. De beschreven testen gaan uit sluitend over onregelmatigheden in de getallen reeks. Voldoet een getallen reeks aan de wiskundige voorwaarden dan is het toch mogelijk de uitbetaling te beinvloeden. Dit moet je op een andere manier testen. 

Nee hoor, dit kun je op precies dezelfde manier testen. In plaats van te kijken naar hoe vaak bepaalde getallen komen, kijk je naar hoe vaak je wint. Vervolgens kun je op exact dezelfde manier testen. Een voorbeeld:

Enkele jaren geleden kwam ik een roulette tegen waar ook ik het gevoel had dat er iets niet klopte en dat ben ik gaan onderzoeken. Ik zette in op 7 nummers en het leek er op dat ik te weinig won. Nu is normaal gesproken de kans dat je wint bij 7 nummers natuurlijk 7/37. Dus de nulhypothese is 'kans op winst is 7/37'. De alternatieve hypothese is in dit geval 'de kans op winst is kleiner dan 7/37'. Laten we streng zijn en een significantie niveau aanhouden van 0.01.

Vervolgens heb ik een steekproef gedaan van 1362 spins. Ik bleek slechts 81 keer te winnen. De kans dat ik op een eerlijke roulette 81 keer of minder zou winnen in een dergelijke sample size is kleiner dan 0.000001 en dus vele malen kleiner dan ons significantie niveau van 0.01. Je kunt hier dus zelfs met een niet te grote sample size wel stellen dat er hier iets aan de hand was. Uiteraard heb ik het nog verder onderzocht en de resultaten daarvan kun je in het boek lezen.

Toegegeven, ik zette hier altijd op dezelfde nummers in, dus strikt genomen kijken we hier ook naar de getallen reeks, maar we zouden exact dezelfde methode kunnen toepassen als ik elke spin op 7 andere nummers had ingezet.

Ook als je wisselende inzetten doet kun je deze methode gebruiken. Als je vermoedt dat de uitkomst afhankelijk is van de inzet, moet je bijhouden bij welke inzet je wint of verliest en vervolgens pas je bovenstaande toe op alle uitkomsten waar je dezelfde inzet had. Een eerlijke roulette moet dan nog steeds 1/37 keer elk nummer gooien, dus als dat sterk afwijkt, kan deze toets dat nog steeds laten zien. Voor SSB zou je deze toets dus tien keer doen. Eén keer voor alle uitkomsten waar je 1 inzet, één keer voor alle uitkomsten waar je 2 inzet, etc. Je kunt dan precies zien of er een inzet is waar je te weinig wint.

[Rudi]

Op internet kwam ik een paper getiteld "Biased roulette Wheel: A Quantitative Trading Strategy Approach" tegen van een econoom die aan een universiteit uit Peru studeert of werkt.

https://ideas.repec.org/p/arx/papers/1609.09601.html

Beste man had in 2016 10980 spins van een roulette van een live casino uit Riga, Letland  (dit kan alleen Evolution Gaming zijn?) geregistreerd en onderzocht. 

De conclusies laat ik voor zijn rekening, het onderzoek zal vast nuttig zijn geweest in zijn vakgebied quantitative financial trading. 
 

Quote

In this paper, we have seen that is not necessary that the roulette wheel has to be statistically biased in order to have profits in the short-term. Importantly, however, it is needed a probability of occurrence approximately to greater or equal than three percent for make a bet on a specific number.

Haha no sh*t Sherlock!

De drie grote live casino providers voor online casino's zijn Evolution Gaming, Pragmatic Games en Playtech.
De games van deze providers zijn in allerlei jurisdicties gecertificeerd en gelicenseerd.
De game providers hebben er groot belang bij dat de games eerlijk worden aangeboden.

Hoogstwaarschijnlijk worden de games/roulettes ook gemonitord op afwijkingen in de resultaten en zijn er rapportage mogelijkheden voor de casino's die de diensten afnemen.

Ik geloof er niets van dat je anders dan door geluk op een live roulette van een van deze 3 aanbieders een afwijking kunt registreren en dan kan winnen door op de meest vallende getallen in te zetten.

augustus 9, 2021 bewerkt door Rudi

[TheGreatOne]

47 minuten geleden zei Rudi:

 

Beste man had in 2016 10980 spins van een roulette van een live casino uit 

De man had ook wel 100.000 spins mogen doen dan komen we helemaal richting een goed onderzoek 🙂

 

 

[DeValsspeler]

17 uur geleden zei TheGreatOne:

De man had ook wel 100.000 spins mogen doen dan komen we helemaal richting een goed onderzoek 🙂

Meer is natuurlijk beter. Met 10.000 spins moet je echter al wel enigszins kunnen zeggen of een wheel biased is of niet. De man die ik in Las Vegas regelmatig spreek en die echt alles weet van manieren om casino's te verslaan zei ook dat de teams die hij kent die zich bezig houden met biased wheels rond de 10.000 spins observeren.

[dobbelsteen]

Ik heb een RNG in Excel ontworpen, welke geheel aan de wiskundige  voorwaarden voldoet. Als je op rood inzet geeft de RNG altijd een random zwarte uitkomst en omgekeerd. Zet je bijvoorbeeld 10 keer in op 3 dan geeft de RNG 10 random zwarte getallen. Dit is een voorbeeld dat een controle van de random nummer reeks niet uitsluit een manipulatie.

[DeValsspeler]

1 minuut geleden zei dobbelsteen:

Ik heb een RNG in Excel ontworpen, welke geheel aan de wiskundige  voorwaarden voldoet. Als je op rood inzet geeft de RNG altijd een random zwarte uitkomst en omgekeerd. Zet je bijvoorbeeld 10 keer in op 3 dan geeft de RNG 10 random zwarte getallen. Dit is een voorbeeld dat een controle van de random nummer reeks niet uitsluit een manipulatie.

Maar ik zeg ook niet dat een controle manipulatie uitsluit. Het is de manipulatie die aangetoond moet worden en dus moet je met overtuigende data komen die zeggen dat 'geen manipulatie' zeer onwaarschijnlijk is. In jouw RNG zul je inderdaad niet kunnen aantonen dat er manipulatie plaats vindt als je alleen naar gevallen nummers kijkt. Kijk je echter naar gevallen nummers in combinatie met inzet, dan valt jouw RNG direct door de mand met bovenstaande test. Je hoeft namelijk alleen maar een sample nummers te nemen waar je op rood inzet en de data zal laten zien dat er te vaak zwart valt voor een eerlijke rng.

Zo luidt dan de nulhypothese: 'als ik op rood inzet, is de kans op zwart 18/37'

De alternatieve hypothese is: 'als ik op rood inzet, is de kans op zwart groter dan 18/37'

Doen we een sample van 100 inzetten op rood, dan zien we met jouw rng dat er 100 keer zwart komt. De kans daarop is natuurlijk vele malen kleiner dan elk fatsoenlijk significantieniveau en dus kun je de nulhypothese verwerpen en de alternatieve hypothese aannemen.

 

Het is met hypothese toetsen belangrijk dat je de nulhypothese zorgvuldig formuleert, zodat je weet waar je over praat en wat je precies gaat toetsen. En meestal doe je zo'n toets ook pas als je een vermoeden hebt. Spelen we roulette met jouw rng, dan zullen we op een gegeven moment gaan vermoeden dat er altijd een andere kleur komt dan wij spelen. En dus gaan we daarop testen en krijg je bovenstaande hypothesen. Vermoed je iets anders en ga je daar op testen, dan is het goed mogelijk dat je niets vindt. Maar dat betekent niet dat je manipulatie uitsluit, dat betekent alleen dat je op dat moment nog geen gegronde reden hebt om 'geen manipulatie' uit te sluiten.

[David Rahusen]

Vraagje Ik ben opzoek naar een duidelijke uitleg hoe ik met een casio KK-82MS-B casio handmatig een binominaal toets kan berekenen als ik videos opzoek of chatgdp gebruik krijg ik steeds andere formules te zien een voorbeeld vraag van een oefentoetswaar ik het andwoord van zou willen weten is 

 

Een tentamen bestaat uit 30 vierkeuzevragen. Jan beweert dat hij het betreffende tentamen door enkel gokken heeft ingevuld, en de vragen zelfs niet heeft gelezen. Hij blijkt echter 15 vragen goed te hebben beantwoord.

hopelijk kan iemand mij uit de brand helpen met stapgewijs een duidelijke uitleg met de formule 

 

Alvast enorm bedankt!

[DennMann]

@DeValsspeler dit is echt een vraag voor jou.

[dobbelsteen]

Een enkele keer kijk ik wel eens naar 1 tegen 100. De speler moet van de 3 mgelijkheden het juiste antwoord. Soms is de vraag zo moeilijk dat je kunt inschatten dat de gasten ook het antwoord niet weten. Zijn er nog 60 gasten over dan vallen er 20+/- vallen.

Ik verwacht eerder  dat de kandidaat gokker 8 vragen goed heeft. Bij de beoordeling wordt rekeninggehouden met het gokelement

[DeValsspeler]

16 uur geleden zei David Rahusen:

Vraagje Ik ben opzoek naar een duidelijke uitleg hoe ik met een casio KK-82MS-B casio handmatig een binominaal toets kan berekenen als ik videos opzoek of chatgdp gebruik krijg ik steeds andere formules te zien een voorbeeld vraag van een oefentoetswaar ik het andwoord van zou willen weten is 

 

Een tentamen bestaat uit 30 vierkeuzevragen. Jan beweert dat hij het betreffende tentamen door enkel gokken heeft ingevuld, en de vragen zelfs niet heeft gelezen. Hij blijkt echter 15 vragen goed te hebben beantwoord.

hopelijk kan iemand mij uit de brand helpen met stapgewijs een duidelijke uitleg met de formule 

 

Alvast enorm bedankt!

Ik ben niet meer thuis in wat rekenmachines allemaal kunnen tegenwoordig, maar als ik het zo google lijkt de KK-82MS-B niet over de functies binompdf en binomcdf te beschikken, klopt dat?

Dan dus echt de formule in toetsen in de rekenmachine. Hiervoor ontbreekt echter de daadwerkelijke vraag van jouw oefentoets. Ik ga er voor nu even vanuit dat de vraag luidt: wat is de kans dat Jan precies 15 vragen goed heeft als hij ze allemaal gegokt heeft? (is de vraag: wat is de kans dat hij 15 vragen of meer goed heeft, dan wordt de berekening aanzienlijk langer als je hem met de hand moet doen en ik neem aan dat ze dat jullie niet aan doen).

De kans dat een antwoord goed gegokt wordt is 0,25 en de kans dat het fout is, is 0,75. Hij heeft er 15 goed en 15 fout. De kans om de eerste 15 goed te hebben en de tweede 15 fout is dan 0,25^15 x 0,75^15. Nu moet je nog het aantal mogelijkheden weten waarop de goede en foute antwoorden verdeeld kunnen worden. Dit zijn er 30 boven 15, ofwel 30!/(15!*(30-15)!). Als ik het goed heb kun je hier de knop nCr voor gebruiken: 30 nCr 15. (als dat laatste niet klopt kun je altijd de knop x! (shift x^-1) gebruiken en dit stukje intypen: 30!/(15!*(30-15)!) ).

Het antwoord krijg je dus door in te typen: 0,25^15 X 0,75^15 X (30 nCr 15). Ik weet niet zeker of de haakjes nodig zijn.

Of: 0,25^15 x 0,75^15 x 30!/(15!*(30-15)!) )

 

Op de volgende website kun je je antwoord eenvoudig controleren: https://stattrek.com/online-calculator/binomial

Hier hoef je alleen de kans op succes (0,25), het totaal aantal (30) en het aantal successen (15) in te vullen. Vervolgens klik je op Calculate en je krijgt de uitkomsten voor verschillende vraagstukken (duurt een paar seconden). Voor de vraag op precies 15 goed kijk je bij P(X=x). Bij mij komt er 0.00193 uit.

Ik hoor graag of je hier mee geholpen bent. Voel je vrij om mij een prive bericht te sturen als je meer uitleg wilt.

 

 

[Rudi]

^^ voor het laatste stukje van DeValsspeler ook het volgende alternatief: je pakt Excel / Google Sheets / OpenOffice Calc en poetst er volgende formule in, ook uitgebreide hulpfuncties beschikbaar.
In de originele vraag zag ik iets van toets. Dan wordt het allemaal iets ingewikkelder, met betrouwbaarheidsintervallen.