Jump to content

Gemiddelde, verwachtingswaarde en huisvoordeel


Recommended Posts

Gokkasten en live casino spelen worden steeds uitgebreider en in mijn ogen ook steeds leuker om te spelen. Aan de basis van alle spellen staat echter de wiskunde. Als de wiskunde niet uitwijst dat een spel een RTP lager dan 100% heeft, zal een casino hem niet aanbieden. Nu kan de wiskunde achter al die spellen best ingewikkeld worden, en daarom is het belangrijk om in eerste instantie een goed begrip van de basis te hebben. In dit topic zal ik dan ook proberen op een simpele manier uit te leggen hoe begrippen als gemiddelde, verwachtingswaarde en huisvoordeel berekend worden en wat ze precies betekenen.

 

Laten we beginnen met het begrip gemiddelde (eigenlijk het rekenkundig gemiddelde). Iedereen zal weten hoe je een gemiddelde uit kunt rekenen, maar omdat de verwachtingswaarde hieruit voortkomt toch een korte uitleg met voorbeeld.

Als eerste de definitie: Het rekenkundig gemiddelde reken je uit door alle uitkomsten bij elkaar op te tellen en deze waarde te delen door het totaal aantal uitkomsten.

Als voorbeeld nemen we het geval waarbij we 20 keer met een dobbelsteen gooien en de volgende uitkomsten krijgen:

1 3 4 2 5 4 2 2 5 6 2 3 3 3 1 2 1 4 6 2

Tellen we al deze waarden bij elkaar op en delen we dit door 20, dan krijgen we de gemiddelde uitkomst:

1546492625_Gemiddelde1.jpg.1c8f1fe54f44bb7ce57c5ec1c084adad.jpg

We zien dat 1 hier drie keer is voorgekomen, 2 is zes keer voorgekomen, 3 vier keer, 4 drie keer, 5 twee keer en zes ook twee keer. Dankzij de standaard rekenregels voor vermenigvuldigen en optellen, kunnen we bovenstaande dus ook schrijven als:

155825038_Gemiddelde2.jpg.55d05e44c16c35dd10d8c6513184ba96.jpg

En dankzij de rekenregels voor optellen en delen kunnen we dit weer schrijven als:

1320294502_Gemiddelde3.jpg.c94828a49818c71af1097d4509e8b4a3.jpg

 

Je ziet dat we het gemiddelde dus eigenlijk berekenen door elke uitkomst te vermenigvuldigen met het deel van het totaal dat die uitkomst voor kwam. Nummer 1 is drie van de 20 keer gegooid, dus 1 wordt vermenigvuldigd met 3/20.

Dit brengt ons op de verwachtingswaarde. En de naam zegt het al, de verwachtingswaarde is de waarde die we gemiddeld verwachten als we een experiment heel vaak doen. Stel dat we de dobbelsteen 6 miljoen keer willen gooien. In plaats van dat daadwerkelijk te doen en al die uitkomsten te noteren zoals we hierboven hebben gedaan, weten we dankzij de wet van de grote aantallen dat het percentage dat elk nummer voorkomt even groot zal zijn (denk erom, de absolute aantallen zullen niet gelijk zijn). In dit geval betekent het dus dat het aantal keer dat elk nummer voorkomt, gedeeld door het totaal aantal keer dat gegooid wordt uit zal komen op 1/6.

En nu we weten dat elk nummer in één zesde van de gevallen voorkomt, kunnen we op dezelfde manier als bij het gemiddelde eenvoudig de verwachtingswaarde berekenen:

397797920_Gemiddelde4.jpg.953cd9820ce2942a47c383a66f5dd917.jpg

Bovenstaande maakt hopelijk duidelijk dat we de verwachtingswaarde in het algemeen kunnen berekenen door elke uitkomst te vermenigvuldigen met de kans op die uitkomst en al die resultaten bij elkaar op te tellen. En het maakt hopelijk ook duidelijk dat de verwachtingswaarde dus niets anders is dan een gemiddelde.

Bovenstaande kunnen we vervolgens gebruiken om het huisvoordeel van inzetten te bepalen. Laten we makkelijk beginnen met een inzet van €1 op nummer 23 van de roulette.

Er zijn in dit geval slechts twee mogelijkheden:

1.       We verliezen €1. De kans hierop is 36/37

2.       We winnen €35. De kans hierop is 1/37

Vermenigvuldigen we de uitkomsten met hun kans, dan krijgen we 36/37 * - €1 + 1/37 * €35 = -1/37 = -€0,027

Denk er hierbij om dat je het verlies van €1 als - €1 noteert. Deze verwachtingswaarde vertelt ons dus dat voor elke euro die we op nummer 23 inzetten, we gemiddeld 2,7 cent verwachten te verliezen.

Het casino verwacht natuurlijk datzelfde bedrag te winnen en dat brengt ons op het huisvoordeel, wat we over het algemeen als percentage van de inzet weergeven. In dit geval wint het casino 2,7 cent voor elke euro inzet, dus is het huisvoordeel simpelweg 0,027/1 * 100% = 2,7%.

 We kunnen op dezelfde manier de verwachtingswaarde en het huisvoordeel berekenen voor ingewikkelder inzetten. Stel bijvoorbeeld dat we €1 inzetten op nummer 23 en €1 op rood in het geval dat la partage niet geldt. We hebben dan drie mogelijkheden:

  1.          Nummer 23 valt. We winnen dan beide inzetten, dus maken €36 winst. De kans hierop is 1/37

  2.          Een rood nummer anders dan 23 valt. We maken geen winst en geen verlies. De kans hierop is 17/37

  3.           Een zwart nummer of de 0 valt. We verliezen €2. De kans hierop is 19/37

Als alle kansen van de mogelijkheden bij elkaar opgeteld 1 geven, weet je dat je elke mogelijkheid gehad hebt.

Berekenen we nu de verwachtingswaarde, dan krijgen we dus:

249582259_Gemiddelde5.jpg.a7823fe6513c3e95e8aa44b93712f4bb.jpg

Elke keer dat we €1 inzetten op zowel 23 als op rood, verliezen we dus gemiddeld 5,4 cent. Drukken we dit verlies weer uit in een percentage van de inzet, dan krijgen we 0,054/2 * 100% = 2,7% . Uiteraard weer de bekende 2,7% huisvoordeel.

Stel we doen hetzelfde, maar nu met de la partage regel, waarbij je dus de helft van je inzet op de even kansen terugkrijgt als de 0 valt. Nu zijn er vier mogelijkheden:

  1.            Nummer 23 valt. We winnen dan beide inzetten, dus maken €36 winst. De kans hierop is 1/37

  2.          Een rood nummer anders dan 23 valt. We maken geen winst en geen verlies. De kans hierop is 17/37

  3.           Een zwart nummer valt. We verliezen €2. De kans hierop is 18/37

  4.           De 0 valt. We krijgen de helft van onze inzet op rood terug en maken dus €1,50 verlies, met een kans van 1/37

Hieruit volgt:

116545101_Gemiddelde6.jpg.5451dd4e764fd89320942fee3738164c.jpg

Uitgedrukt in een percentage van de inzet komen we dan op een huisvoordeel van 0,041/2 * 100% = 2,027%.

Niet verrassend is dat dit exact het gemiddelde is van het huisvoordeel op een enkel nummer en het huisvoordeel op een even kans met la partage. Zouden we €2 inzetten op rood en €1 op 23, dan zouden we als huisvoordeel (2,7 + 2 * 1,35)/3 * 100% = 1,8% vinden.

Dit maakt ook meteen duidelijk dat combinaties van inzetten dus op een huisvoordeel zullen komen die gelijk is aan het gemiddelde van de huisvoordelen van de inzetten afzonderlijk. Logischerwijs volgt hieruit, dat er simpelweg geen inzetstrategie kan bestaan met een positieve verwachtingswaarde als alle inzetten afzonderlijk een negatieve verwachtingswaarde hebben.

Mocht je desondanks toch een verwachtingswaarde willen berekenen van een strategie, dan kan dat uiteraard alsnog volgens bovenstaande methode: Vermenigvuldig elke mogelijke uitkomst met zijn bijbehorende kans en tel al die uitkomsten bij elkaar op.

Wil je het bijbehorende huisvoordeel weten, deel dan de gevonden verwachtingswaarde door de gemiddelde inzet. De gemiddelde inzet vind je uiteraard door elke mogelijke inzet van je strategie te vermenigvuldigen met de kans dat je die inzet moet doen.

En bovenstaande kun je uiteraard ook toepassen op strategieën. Heb je een bepaalde strategie waar het aantal mogelijkheden eindig is dan kun je voor elke mogelijkheid de kans berekenen, de bijbehorende winst bepalen en dus per definitie een huisvoordeel voor die strategie bepalen. En dat kan dus ook voor bijvoorbeeld Martingale met maximaal 10 keer verdubbelen of SSB toegepast op Martingale met maximaal 10 keer verdubbelen zoals ik in het topic SSB vs Martingale heb gedaan.
  • Like 3
Link to comment
Share on other sites

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Paste as plain text instead

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

×
×
  • Create New...

Important Information

"By visiting the Onetime Forum, you agree to our Terms of Use,Privacy Policy and We have placed cookies on your device to help make this website better. You can adjust your cookie settings, otherwise we'll assume you're okay to continue.